백준 17626번 Four Squares

정보

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난이도: Silver4

관련 개념: #다이나믹 프로그래밍, #브루트포스

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조건

시간 제한	메모리 제한
0.5 초 (추가 시간 없음)	512 MB

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문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 5²과 1²의 합이다; 또한 4² + 3² + 1²으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 125² + 6² + 1² + 1²라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 105² + 15² + 8² + 5².

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

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입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000 이다.

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출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

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예제 입출력 1

입력

25

출력

1

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예제 입출력 2

입력

26

출력

2

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예제 입출력 3

입력

11339

출력

3

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예제 입출력 4

입력

34567

출력

4

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코드(파이썬)

n = int(input())
pows = [i**2 for i in range(int(n**0.5), 0, -1)]
r = 4

if n in pows:
    r = 1
else:
    pows2 = {i+j for i in pows for j in pows if i+j <= n}
    
    if n in pows2:
        r = 2
    elif n in {i+j for i in pows for j in pows2 if i+j <= n}:
        r = 3

print(r)

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특이사항

• 브루트포스라고 생각해서 풀이했으나, 다이나믹 프로그래밍으로도 해결할 수 있는 문제
• 내 코드(34,452KB, 400ms)에 비해 우수한 코드(바로가기, 30,864KB, 92ms)와 비교

  • N = int(input())
    
    def get_cnt(N):
        root = int(N ** 0.5)
        if root == N ** 0.5:
            return 1
            
        for i in range(1, int(root)+1):
            remain = (N - (i**2)) ** 0.5
            if remain == int(remain):
                return 2
    
        for i in range(1, int(root)+1):
            temp = (N - (i**2)) ** 0.5
            for j in range(1, int(temp)+1):
                temp2 = (N - (i**2) - (j**2)) ** 0.5
                if temp2 == int(temp2):
                    return 3
    
        return 4
    
    print(get_cnt(N))
    
    

  • 풀이 과정
    • 기존: 제곱수를 저장하고 이를 3번 중복해 더해서 비교
    • 개선: 기존 숫자에서 제곱수를 빼서 비교

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참고문헌

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